História da Equação de Darcy-Weisbach

Henry Darcy e sua Lei

A História da Equação de Darcy-Weisbach

Glenn Brown
Oklahoma State University
6/7/00
revised 6/27/00

Traduzido por Luiz Camargo
Eng. Mecânico
Vitória/ES, Brasil
lcamargo@nutecnet.com.br
14/abr/01

O que nós chamamos de equação de Darcy-Weisbach tem uma longa história de desenvolvimento. Ela é conhecida pelo nome de dois grandes engenheiros hidráulicos de meados do século 19, embora outros nomes tenham dado também importantes contribuições. Julies Weisbach (1806-1871), natural da Saxônia, propôs em 1845 a equação que nós usamos atualmente,

h_l = fL/D * V²/2g

onde h_l é a perda de carga, L é o comprimento do tubo, D é o diâmetro de tubo, V é a velocidade média, g é a aceleração da gravidade e f é o fator de atrito. Entretanto, ele não proveu dados adequados para a variação de f com a rugosidade relativa e com a velocidade. Por isto, sua equação teve fraco desempenho comparado com a equação empírica de Prony (Gaspard Clair Francois Marie Riche de Prony, 1755-1839) amplamente usada na ocasião;;

h_l = L/D * (aV + bV²)

onde a e b são fatores de atrito empíricos para a velocidade e para o quadrado da velocidade.

Apesar de Weisbach ter estado à frente da maioria dos outros engenheiros, seu trabalho não foi o primeiro nesta área. Aproximadamente em 1770, Antoine Chézy (1718-1798), um diplomado precoce da l'Ecole des Ponts et Chaussées, publicou uma equação para escoamento em canais abertos que podia ser reduzida à mesma fórmula. Infelizmente, o trabalho de Chézy ficou perdido até 1800 quando seu antigo aluno, Prony, publicou um relato descrevendo-o. Surpreendentemente Prony desenvolveu sua própria equação, mas é sabido que Weisbach estava ciente dos trabalhos de Chézy na publicação de Prony.

Darcy, (aluno de Prony) em 1857 publicou novas relações para o coeficientes de Prony baseado em um grande número de experimentos. Sua nova equação foi,

h_l = L/D * [(c + d/D²)V + (d + e/D)V²]

onde c, d e e são coeficientes empíricos para um dado tipo de tubo. Darcy desta forma introduziduziu o conceito de coeficiente de atrito escalonado por diâmetro; o que nós atualmente chamamos de rugosidade relativa, quando aplicando o Diagrama do Moody. Portanto, é tradicional chamar f de "fator f de Darcy", ainda que Darcy nunca tenha proposto isto naquela fórmula.

Os dois conceitos foram juntados por Fanning em 1880 (eu penso). Ele publicou uma compilação dos valores de f como uma função do tipo de tub e da velocidade. Contudo, seria notado que Fanning utilizou o raio hidráulico, ao invés de D na equação do atrito, e assim os valores do "f de Fanning" são apenas 1/4 dos valores do "f de Darcy". A equação de Darcy-Weisbach não foi universalmente proveitosa até o desenvolvimento do diagrama de Moody (Moody, 1944) que o construiu com base nos trabalhos de Poiseuille, Reynolds, Blasius, Kármaán, Prandtl, Colebrook, White, Rouse e Nikuradse. Rouse (1946) dá um bom sentido ao desenvolvimento do fator f, mas ele não faz referência a Moody.

O nome da equação através do tempo é também curioso e pode ser localizado em livros-textos de hidráulica e mecânica dos fluidos. Textos mais antigos geralmente não davam nome à equação. Começando em meados do século 20 alguns autores, incluindo pelo menos um alemão, chamaram-na de "Equação de Darcy", um óbvio ponto de confusão com a "Lei de Darcy". Rouse, em 1946, parece ser o primeiro a chamá-la de "Darcy-Weisbach", porém este nome não se torna universal até perto de 1980. O nome é suficientemente bom, mas como mostrado anteriormente, ele deixa de lado importantes contribuições. Então se você quiser dar crédito completo e nome confuso, chame-a de "equação de Chézy-Weisbach-Darcy-Poiseuille-Reynolds-Fanning-Blasius-Kármaán-Prandtl-Colebrook-White-Rouse-Nikuradse-Moody".

De um ponto de vista prático, a equação de Darcy-Weisbach somente tornou-se popular a partir do advento das calculadoras eletrônicas. Ela requer uma grande quantidade de operações quando comparada a relações empíricas, tal como a equação de Hazen-Williams, que são válidas para estreitas faixas de aplicação. Portanto, por causa de sua precisão geral e ampla faixa de aplicação, a equação de Darcy-Weisbach deveria ser considerada padrão e as outras deveriam ser deixadas para os historiadores. Uma recente e interessante discussão sobre este tema é apresentada por Liou (1998), Christensen (2000), Locher (2000) e Swamee (2000).

Referências

Christensen, B.A., 2000. Discussion of "Limitations and Proper Use of the Hazen-Williams Equation. Journal of Hydraulic Engineering", ASCE.

Darcy, H. 1857. Recherches Experimentales Relatives au Mouvement de L'Eau dans les Tuyaux, 2 volumes, Mallet-Bachelier, Paris. 268 pages and atlas. ("Experimental Research Relating to the Movement of Water in Pipes")

Fanning, 1877. Treatise on Water Supply.

Liou, C.P., 1998. Limitations and Proper Use of the Hazen-Williams Equation. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE. Vol. 124.

Locher, F. A., 2000. Discussion of "Limitations and Proper Use of the Hazen-Williams Equation. Journal of Hydraulic Engineering", ASCE.

Moody, L. F., 1944. Friction factors for pipe flow. Transactions of the ASME, Vol. 66.

Rouse, H., 1946. Elementary Mechanics of Fluids. John Wiley and Sons, New York.

Swamee, P. K., 2000. Discussion of "Limitations and Proper Use of the Hazen-Williams Equation. Journal of Hydraulic Engineering", ASCE.

Weisbach, J., 1845. Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinen-Mechanik, Braunschwieg.